In \(S_2\) (with \(v=\omega R\)):
\begin{align*}
\vec r\,'&=(x-vt)\hat i+y\hat j=\left(R\cos\omega t-vt\right)\hat i+R\sin\omega t\,\hat j,\\
\vec v\,'&=(\dot x-v)\hat i+\dot y\hat j=\left(-R\omega\sin\omega t-v\right)\hat i+R\omega\cos\omega t\,\hat j .
\end{align*}
\begin{align*}
\vec L'=m\,\vec r\,'\times\vec v\,'&=m\left[\left(R\cos\omega t-vt\right)R\omega\cos\omega t+R\sin\omega t\left(R\omega\sin\omega t+v\right)\right]\hat k\\
&=m\left(R^2\omega-vtR\omega\cos\omega t+vR\sin\omega t\right)\hat k .
\end{align*}
At \(t=2\pi/\omega\): \(\cos\omega t=1\), \(\sin\omega t=0\) and \(vt=2\pi R\), so
\[
\vec L'=mR^2\omega\left(1-2\pi\right)\hat k=-5.28\,mR^2\omega\,\hat k\;\Rightarrow\;\left|\vec L'\right|=5.28\,mR^2\omega,\qquad\boxed{x=5.28}
\]
Answer: 5.28 (range 5.25 to 5.30)
